Как правильно Do you have a dog?… или Have you a dog?

Когда HAVE испотользуется как смысловой глагол (в значении "иметь", а не как вспомогальтельный), то более правильно и естественно будет Do you have ...?

Если HAVE выступает в качестве вспомогательного глагола, то тогда в вопросительных предложениях его ставят на первое место.

I have read a book. - Have you read a book?

Также можно использовать конструкцию HAVE GOT, которая имеет тот же смысл. Но в этом случает HAVE тоже выступает как бы впомогательный.

I have got a dog. - Have you got a dog?

В принципе Have you a dog? теоритически может существовать, и вас поймут. Но так никто не говорит.