Как доказать формулу производной по направлению?

Производная функция f по направлению e есть скалярное произведение градиента f на орт e.

Для доказательства данной формулы достаточно школьных знаний. С вашего позволения, альфа будет А, бета будет B.

Мы видим, что A+B=90 градусов=ПИ/2

Далее, по основному тригонометрическому тождеству: 1=sin^2(A)+cos^2(A). По формуле приведения: sinA=cos(ПИ/2-A), поэтому (продолжим равенство):

=cos^2(ПИ/2-A)+cos^2(A)=cos^2(B)+cos^2(A) ну а исходно это было равно 1, так что cos^2(B)+cos^2(A)=1, формула доказана.

Косинусы углов, которые данное направление образует с положительными направлениями осей координат, называются направляющими косинусами. В данном случае мы рассмотрели сумму квадратов направляющих косинусов для двумерного случая. Эту формулу можно обобщить на n-мерный случай.