Какой физический смысл производной?

В реальном, физическом мире протекают физические процессы, описанием которых занимается математика. Математика применяет в своем инструменте, как простые вычисления, так и более сложные математические операции. Одной из таких операций является производная.

Математически это предел отношения бесконечно малого приращения функции... и далее по тексту определения производной. Что означает это в реальном мире?

Рассмотрим процесс движения например автомобиля. При поездке в автомобиле видно, что значение спидометра постоянно меняется, так же можно заметить, что меняются координаты движущегося автомобиля с течением времени.

Описать положение тела в любой момент времени - это основная задача механики (раздела физики). Знание правил вычисления производной позволяет знать скорость движущегося тела в любой момент времени. Физический смысл производной по времени - это мгновенная скорость физического процесса.