На какие множества разделяют все числа в математике?
Ответов: 3
В современной математике очень много разных чисел.
Всю историю человечества в математике все время расширялось понятие числа.
Сначала числа были только натуральные, с помощью которых можно было считать предметы.
Потом додумались, что большие предметы можно делить на части, и появились дроби, то есть рациональные числа.
В Древней Греции весьма активно занимались геометрией и заметили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть не выражается рациональной дробью.
Так появились иррациональные числа. Потом Архимед выяснил, что длину окружности нельзя выразить через диаметр ни рационально, ни иррационально. Так появилось число Пи.
Оно является трансцендентным. Это значит, что его нельзя выразить через корни никакой степени, и нельзя получить как корень уравнения с рациональными коэффициентами.
Намного позже, в Средние века, математики задались вопросом: почему уравнение х - 2 = 0 имеет корень 2, а вроде бы такое же х + 2 = 0 не имеет корня?
Так появились отрицательные числа.
Также в Средние века сначала Непер придумал, а потом Бернулли вычислил другое очень известное трансцендентное число - е, то есть основание натуральных логарифмов.
Действительные числа - это все точки на прямой, имеющей 0 и единичный отрезок.
Потом задумались еще дальше: почему из отрицательных чисел нельзя извлечь квадратный корень? И придумали сначала мнимые, а потом и комплексные числа.
Комплексные числа имеют две разных единицы: 1 и i (иногда пишут j).
Комплексные числа - это все точки плоскости, потому что они имеют две координаты.
Есть интересное равенство, в котором заключены все 5 основных величин математики:
0, 1, i, e, pi. Вот это равенство: e^(i*pi) + 1 = 0
Итак, к 19 веку мы имели: множество комплексных чисел и входящее в него множество действительных чисел.
Действительные числа распадаются на два множества: рациональные и иррациональные.
В рациональные подмножеством входят целые, которые распадаются на положительные (то есть натуральные), отрицательные и ноль.
И рациональные, и иррациональные также могут быть и положительными, и отрицательными.
В 1843 году математик Уильям Гамильтон придумал кватернионы.
Это даже не во всех институтах проходят. Это расширение понятия комплексных чисел,
так называемые гиперкомплексные, у них 4 основных единицы: 1, i, j, k.
Как нетрудно догадаться, кватернионами описывается 4-мерное пространство-время,
поэтому они оказались очень удобными в теории относительности Эйнштейна.
В том же 1843 году знакомый Гамильтона математик Грейвс придумал, а в 1845 Кэли рассмотрел более подробно уже
8-мерные числа, так называемые октавы или октонионы.
Сейчас они названы числами Кэли.
Есть множество всех действительных чисел. В этом множестве выделяют множество рациональных и иррациональных чисел. Во множестве рациональных чисел выделяют множество целых чисел.. Множество целых чисел делится на множество натуральных, на множество противоположных натуральным числам и нуль. Ну а множество нмтуральных чисел можно по-разному разбить, например:
- На четные и нечетные
- На простые и составные и ни те и не другие.
- На квадратные, треугольные.
- Можно выделить числа Фиббоначи
- Круглые числа.
- Числа Мерсенна
- Совершеные числа.
- Можно поделить множество, например, на те, которы дают в остатке при делении на 3 нуль, и это будет одно множество, второе-те, которые при делении на 3 дают в остатке 1 и третье -те, которые при делении на 3 дают в остатке 2. Аналогично можно выбрать вместо 3 любое другое число. И так же поделить множество целых чисел.
- Дружественные числа.
Множество дейтсвительных чисел еще содержит множество транцендентных чисел. Это например известное число Пи и е-основание натурального логарифма.
А само множество действительных чисел содержится во множестве комплексных чисел.
так что таких множеств в математике полно.
Натуральные, целые, простые, составные, чётные, нечётные, совершенные, треугольные, Фибоначчи, Мерсенна... рациональные, иррациональные, алгебраические, трансцендентные, вещественные, комплексные...
Похожие вопросы
Добавить комментарий