Как решить простые тригонометрические уравнения?
Ответов: 2
Так как одновременно и синус и косинус не могут быть равны 0, то разделим обе части на cosx.
sinx/cosx = 1, tgx = 1, x = пи/4 + пи * n, где n - целое
Во втором уравнении sinx = tgx перенесем все в левую часть
sinx - tgx = 0
sinx * (1 - 1/cosx) = 0, т.е. либо sinx = 0, либо cosx = 1, откуда:
x1 = пи * n, где n - целое
x2 = 2пи * n, где n - целое, что является частным случаем первого решения
В третьем уравнении cosx = tgx также все перенесем в левую часть
cosx - sinx/cosx = 0, где cosx не равен 0,
умножим обе части уравнения на cosx
(cosx)^2 - sinx = 0, откуда (cosx)^2 = 1 - (sinx)^2
1 - (sinx)^2 - sinx = 0
sinx = (1 +- (1 + 4)^0.5)/(-2) = -0.5 +- 5^0.5 / 2
sinx1 = -0.5 - 5^0.5 / 2 < -1, следовательно корнем быть не может
sinx2 = -0.5 + 5^0.5 / 2
x = arcsin (5^0.5 / 2 - 0.5) + пи * n, где n - целое
Вот так:
sin(x)=cos(x). Очевидно, что cos(x)=/=0, иначе было бы что и sin(x)=cos(x)=0.
Значит имеем право разделить обе части уравнения на cos(x). Получается tg(x)=1, х=Пи/4+Пи*k, где k - любое целое число.
sin(x)=tg(x): ОДЗ х=/=Пи/2+Пи*k, где k - любое целое число.
sin(x)-tg(x)=0, sin(x)-sin(x)/cos(x)=0, sin(x)*(1-1/cos(x))=0,
Одна серия решений sin(x)=0, х=Пи*k, где k - любое целое число;
Вторая серия решений 1-1/cos(x)=0, В ОДЗ cos(x)=/=0, поэтому умножим на cos(x), cos(x)-1=0, cos(x)=1 х=0+2Пи*k, где k - любое целое число, это решение в ходит в серию х=Пи*k, где k - любое целое число.
cos(x)=tg(x): ОДЗ х=/=Пи/2+Пи*k, где k - любое целое число, значит cos(x)=/=0.
Умножаем на cos(x), получаем cos^(x)=sin(x), 1-sin^2(x)=sin(x), sin^2(x)+sin(x)-1=0
Общее решение квадратного уравнения: sin(x)=(-1+-v5)/2.
Первый корень что sin(x)=(-1-v5)/2<1, т.е. этот корень квадратного уравнения не подходит.
Второй корень sin(x)=(-1+v5)/2. х=(-1)^k*arcsin((-1+v5)/2)+Пи*k, где k - любое целое число.
Похожие вопросы
Добавить комментарий