Как решить показательное уравнение с пифагоровыми числами?

Это уравнение имеет единственное решение, что не штука доказать.

Разделим обе части на правую (поскольку она нигде не обращается в 0, это вполне допустимое действие). Получится (3/5)^x+(4/5)^x = 1. Очевидно, что х=2 есть корень данного уравнения. Смотрим на производную левой части. Она равна ln0.6*0.6^x + ln0.8*0.8^x. Оба слагаемых отрицательны. Это значит, что левая часть есть исходной функции есть функция монотонная и всюду убывающая. А значит, по какой-то из теорем Вейерштрассе, что если такая функция принимает в какой-то точке определённое значение, то соответствующая точка единственна. То есть есть в точке х=2 функция равна 1, то нигде больше такое значение не получается.

Кстати, знание логарифмов тут не нужно, кроме разве что того факта, что натуральный логарифм числа, меньшего 1, отрицателен. А вот производные знать нужно.