Как правильно произносится фамилия знаменитого доктора — Ватсон или Уотсон?

Вопрос нельзя назвать корректным. Иностранные имена не переводятся. Например, английская фамилия произносится и записывается на русском языке так, чтобы ее звучание походило на оригинал. В приведенном примере в настоящее время правильная запись будет Уотсон, ранее применялась Ватсон. Но в английском произношении оба варианта не будут правильными, а будет что-то среднее между В и У, а следующий звук будет похож на длительное А, но и в этом звуке будет присутствовать и звук О. Такой уж этот английский, чтобы что-то правильно сказать, нужно активно шевелить нижней челюстью, уметь делать плевки, сгибать и вытягивать язык и губы.

Думаю дело не в переводе, поскольку фамилии не переводятся. Дело в произношении. Например в фильме "Приключения Шерлока Холмса" главный герой обращаясь к доктору произносит его как "Уатсон", что в дальнейшем слышится как "Ватсон".

проделал эксперимент с гугловским переводчиком фамилия "Watson" после перевода выглядит как "Уотсон", соответственно выговаривание всех букв приведет к искажениям и получится "Уатсон", а после и "Ватсон". Думаю гугловский перевод правильный, а то что пишется одно произносится другое, а слышится третье это уже тонкости перевода и транскрипции. Думаю надо оставить как есть.

Ватсон и Уотсон это одно и тоже лицо и имя зависит от правильного произношения.