Как доказывать с помощью математической индукции (см)?

1) Ошибка. Должно быть так:

1 + 1*1! + 2*2! + ... + n*n! = (n+1)!

Для n = 1

1 + 1*1! = 1 + 1 = 2

(n + 1)! = (1 + 1)! = 2! = 2

Верно для n = 1. Пусть равенство верно для какого-то n:

1 + 1*1! + 2*2! + ... + n*n! = (n+1)!

Докажем, что оно также верно для n+1

1 + 1*1! + 2*2! + ... + n*n! + (n+1)*(n+1)! = (n+2)!

Имеем:

(n+1)! + (n+1)*(n+1)! = (n+1)!*(1 + n + 1) = (n+1)!*(n+2) = (n+2)!

Что и требовалось доказать.

2) Для n = 1

1^3 = (1)^2

Верно для n = 1. Пусть равенство верно для какого-то n:

1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2

Докажем, что оно также верно для n+1

1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n+1)^3 = (1 + 2 + ... + n + n+1)^2

Правую часть разложим как квадрат суммы

(1 + 2 + ... + n + n+1)^2 = ((1 + 2 + ... + n) + (n+1))^2 = (1 + 2 + ... + n)^2 + 2(1 + 2 + ... + n)(n+1) + (n+1)^2

Сумму (1 + 2 + ... + n) можно представить как арифметическую прогрессию.

1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2

Получаем

(1 + 2 + ... + n)^2 + 2(1 + 2 + ... + n)(n+1) + (n+1)^2 = (1 + 2 + ... + n)^2 + 2n(n+1)/2*(n+1) + (n+1)^2 =

= (1 + 2 + ... + n)^2 + n*(n+1)^2 + (n+1)^2 = (1 + 2 + ... + n)^2 + (n+1)^2*(n+1) = (1 + 2 + ... + n)^2 + (n+1)^3

А левая часть

1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n+1)^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 + (n+1)^3

То есть левая и правая части равны одному и тому же выражению.

Что и требовалось доказать.

В обоих случаях метод математической индукции означает:

Если равенство верно для n = 1, то оно верно и для n = 2, n = 3, и так далее, для любого n.