Что такое «поле» в математике?
Ответов: 6
Понятие "поле" изучается в курсе высшей алгебры.
Дадим более точное его определение.
Полем называется непустое множество P, на котором заданы две бинарные алгебраические операции, именуемые сложением и умножением, удовлетворяющие следующим 10 аксиомам:
1.Для любых a,b,c, принадлежащих P, (a+b)+c=a+(b+c) - ассоциативность сложения;
2.Для любых a,b принадлежащих P, a+b=b+a - коммутативность сложения;
3.Существует нулевой элемент 0, принадлежащий P, что для любого элемента a, принадлежащего P, выполняется равенство: 0+a=a+0=a - существование нулевого элемента;
4 . Для любого элемента a существует -а, что выполняется равенство: a+(-a)=(-a)+a=0 - существование противоположного элемента для каждого;
5.Для любых a,b,c, принадлежащих P, (a+b)*c=a*c+b*c, a*(b+c)=a*b+a*c - дистрибутивность умножения относительно сложения;
6.Для любых a,b,c, принадлежащих P, (a*b)*c=a*(b*c) - ассоциативность умножения;
7.Для любых a,b принадлежащих P, a*b=b*a - коммутативность умножения;
8.Существует единичный элемент 1, принадлежащий P, что для любого элемента a, принадлежащего P, выполняется равенство: 1*a=a*1=a - существование единичного элемента;
9.0 не равен 1 , 0,1 принадлежат Р;
10.Для любого элемента a, не равного нулю, существует обратный элемент 1/а (a в минус первой степени), что выполняется равенство: a*1/a=1/a*a=1 - существование обратного элемента для каждого ненулевого.
Из числовых множеств, которые изучаются в школе (представлены на снимке), примерами поля являются только множества рациональных и действительных чисел, так как в них выполняются все условия из определения поля. А множества натуральных чисел (1,2,3,...) и целых чисел (...-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...) поле не образуют, так как для натуральных чисел не выполняются аксиомы 3,4,9,10 (достаточно даже невыполнение одной аксиомы 3, дальше можно не проверять), а для целых чисел - аксиома 10.
Поле в математике используется в двух ипостасях.
Во-первых, поле - это множество объектов, для которых определены операции сложения, умножения и деления (кроме деления на нулевой объект), причём таких объектов, что результаты этих операций не выходят за пределы множества. По этой причине целые числа полем не являются: результат операции "1 делить на 2", очевидно, множеству целых чисел не принадлежит. Такой класс множеств называется "кольцо".
А вот множество рациональных чисел уже является полем: частное от деления одного рационального числа на другое рациональное остаётся рациональным числом.
Во-вторых, поле - это... это поле. То, что мы привыкли называть полем с физической точки зрения. С достаточной степенью общности можно считать, что поле - это функция нескольких переменных: если мы задаём правило, по которому каждой точке М ставится в соответствия некоторая величина К (не обязательно даже число - это может быть и вектор, как для напряжённости электрического поля, и даже тензор, как в Общей теории относительности), то у нас тем самым на пространстве, которому принадлежат точки М, задано поле.
Пусть А - множество.
Опр: А - поле, если А - коммутативное кольцо с 1 (с единицей), в котором для любого x?0 существует х?? - обратный элемент, такой, что: х·х??=x??·x=1
Теперь разберемся, что такое кольцо, коммутативное кольцо и кольцо с 1.
Опр: А - кольцо, если в А заданы две операции:
- Для любых x, y из А > х+у из А - сложение;
- Для любых x, y из А > х·у из А - умножение;
такие, что выполнены следующие аксиомы:
- х+у=у+х;
- x+(y+z)=(x+y)+z;
- Существует 0 (нулевой элемент) такой, что x+0=0+x=x;
- Для любого х существует (-х) такой, что (-х)+х=0;
- x(yz)=(xy)z;
- x(y+z)=xy+xz;
(x+y)z=xz+yz;
Опр: Кольцо А - коммутативное, если ху=ух.
Опр: А - кольцо с 1, если А - кольцо и существует 1 (единичный элемент) такой, что 1·х=х·1=х.
Это множество, в котором все числа имеют определенное свойство. Например, поле целых чисел.
Известно, что операции сложения, вычитания и умножения выполняются над полем целых чисел.
Это значит, что если сложить, вычесть или умножить два целых числа, то получится целое число.
А деление - не определено. Бывает, что, разделив одно целое на другое целое, мы получим рациональное.
Поэтому все 4 действия арифметики выполняются над полем рациональных чисел.
Как бы мы ни складывали, вычитали, умножали и делили рациональные числа, мы опять получим рациональное.
Поле наиболее абстрактное понятие в математике, позволяющее использовать математические инструменты в большом спектре исследований, например в социологии, медицине, военном деле. Строго говоря поле (поля)- набор объектов, подчиняющихся определенным правилам, функционально взаимосвязанных. Причем объект может выпадать из поля, попадая в другое. Поля могут быть независимы, пересекалься, совпадать.
Поле это бесконечное множество точек лежащих в одной плоскости!!!
Похожие вопросы
Добавить комментарий