Задача. Есть бочка с краном внизу. На сколько быстрей вытечет первая …?

Прежде всего вопрос неправильный. Результат будет сильно зависеть от формы бочки и расположения (горизонтальное или вертикальное). Далее, "на сколько" будет зависеть и от объема бочки и от сечения отверстия для истечения.

Конкретизируем задачу. Пусть будет идеальная цилиндрическая бочка с вертикальным расположением оси цилиндра с площадью поперечного сечения (S) и высотой (H). Объем бочки V=S*H. И пусть требуется определить, во сколько раз верхняя половина бочки вытечет быстрее нижней половины.

Скорость вытекания пропорциональна v(h). т. е. dV/dt=k*v(h), где k - некий коэффициент пропорциональности (для решения данной задачи ни его природа на величина не имеют значения), а h - текущая высота уровня жидкости. Так как поперечное сечение бочки (S), постоянно, то dV=S*dh, тогда S*dh/dt=k*v(h). Преобразуем. dh/dt=(k/S)*v(h), dh/v(h)=(k/S)*dt, после интегрирования получим:

(k/S)*t=2*v(h), t=(2*S/k)*v(h).

Итак время вытекания полной бочки tп=(2*S/k)*v(H), время вытекания второй (нижней) половины бочки tн=(2*S/k)*v(H/2), Время вытекания первой (верхней) половины бочки tв=(2*S/k)*(v(H)-v(H/2)), отношение времен tн/tв=((2*S/k)*v(H/2))/((2*S/k)*(v(H)-v(H/2)))=(1/v(2))/(1-1/v(2)=1/(v(2)-1), примерно в 2, 5 раза. При горизонтальном расположении бочки или даже вертикальном , но с неравномерной площадью поперечного сечения задача, значительно усложняется, но в любом случае при четко заданных условиях может быть однозначно решена.