В каких случаях после шипящих пишется Э, а не Е?

Обратимся к Правилам русской орфографии и пунктуации, составленным в 1956 году:

Таким образом, в исконно русских словах буква Э — редкая гостья. Но в некоторых случаях она может встретиться в начале корня после приставки, оканчивающейся на шипящую букву (согласно § 9, п. 4). В первую очередь это приставка меж-. Примером могут служить слова: межэтнический, межэтажный, межэшелонный.

Ну а что касается русских слов, пришедших из других языков, то здесь буква Э изредка встречается после шипящих букв (Ж, Ш, Ч) в словах китайского происхождения. Словари фиксируют следующие слова: жэнь (основное понятие в конфуцианстве), Чжэцзян (провинция), чжэцзянец (житель провинции Чжэцзян), чжэцзянский, Шэньян (город), шэньянец, шэньянский, шэ (народность), Лао Шэ (известный китайский прозаик), шэн (музыкальный инструмент), шэньши (сословие), Чэнду (город), чэндуский. Есть, конечно, и другие подобные им, всех не перечислишь.

Наконец, буква Э после шипящих в русском языке может встретиться в сложносокращённых словах и в аббревиатурах. По правилу, в аббревиатурах допустимы любые сочетания букв, кроме букв, которые не встречаются в начале слова (Ъ, Ы, Ь). Примером аббревиатур с буквой Э после шипящей буквы могут служить: ЖЭК (жилищно-эксплуатационная контора), ЖЭУ (жилищно-эксплуатационное управление), ЧЭЗ (частотное электромагнитное зондирование). Сохраняется буква Э после Ж, Ш, Ч и в производных словах: жэковский, жэковец и тому подобных.