Как правильно по окончании или по окончанию?

Словоформа по окончании образована от существительного окончание. Это слово оканчивается на -ие (окончание -е). Такие существительные в форме предложного падежа, в отличие от типичного окончания -е существительных среднего и мужского рода второго склонения ( в поле, на коне, об озере) имеют окончание -и, поэтому правильной, то есть морфологической нормой, является форма слова по окончании, которая стала уже производным отымённым временным предлогом:

По окончании школы я собираюсь идти учиться на программиста.

Все быстро разошлись по окончании спектакля.