Как правильно пишется «расстелит» или «растелит», «расстелет» или растелет?

Правильное написание - расстелет. Двойная С объясняется путем морфемного разбора слова: выделяем приставку рас- и корень -стел- и убеждаемся в том, что СС находится на стыке приставки и корня.

Чтобы правильно написать окончание (-ет), нужно вспомнить, что это слово является глаголом в форме 3 л., ед. ч. настоящего времени. Выбор окончания (е или и?) зависит от типа спряжения. Глагол "расстелить" относится к первому типу спряжения (исключение), то есть в личных формах имеет окончания с гласной ю (3 л., мн. ч.) и е (остальные формы, включая эту). Таким образом,

расстелет.