Как правильно писать безвести или без вести?

Тут всё просто. Если между предлогом и словом можно поставить какое-нибудь определение, то пишется отдельно. Значит, подставляем какое-нибудь определение, например, без хорошей вести пропавший, значит писать надо раздельно.

Если между этими словами можно поставить слово, т.е., если слово "весть" употребляется в качестве существительного-пишется раздельно.

Если употребляется как наречие , то писать нужно слитно.

Т. е. возможно написание в 2 предложенных вариантах, смотря в каком контексте употреблять.

В том случае, если слово весть-имя существительное, то с предлогом без оно будет писаться раздельно. Но если это слово употреблено с составе наречия, то, конечно же, будет писаться слитно. Например пропал (как?) безвести, но Пришло письмо без единой хорошей вести.

Данное словосочетание всегда пишут раздельно, т. е. без вести.

Данное подтверждение можно найти в словаре:

В настоящее время вы можете встретить слитное написание данного словосочетания, но это является ошибкой.