В каком стакане вода быстрее остынет — (см. условие)?

Вообще говоря, непонятно, что мешает любопытствующему отроку провести простой эксперимент. Что, в доме не найдётся чайника, стакана и градусника? Не поверю...

Ну ладно, положим, хочется проникнуть увственным взором. Окей. Задачка на самом деле для средней школы.

Для начала: когда сливают две жидкости разной температуры и в одинаковом количестве, то температура смеси равна средней арифметичесекой. То есть если взять полстакана кипятка и полстакана воды при нуле градусов (за ноль, как водится, можно принять ЛЮБУЮ температуру, хоть комнатную), то вот в этой шкале температура всего стакана будет ровно 50 градусов.

Второй момент: скорость остывания тела пропорцинальная разности температур между самим телом и окружающей средой. Эта зависимость описывается экспоненциальной функцией. То есть если начальная температура у нас была 50 градусов, то со временем она уменьшается как T(t) = То*exp(-t/tau), где То - начальная температура, а tau - постоянная вреемни процесса, которая зависит от количества воды в стакане и условий теплообмена.

Ну теперь поехали дальше.

Случай 1: полстакана кипятка и полстакана холодной воды. Температура смеси, как мы уже договорились, сразу становится равной 50 градусов и дальше изменяется по экспоненте. Так что через полчаса она станет равной 50*ехр(-30/tau), если tau - в минутах.

Случай 2, вариант 1. В этом случае у нас для начала остывает кипяток, не разбавленный холодной водой, но в объёме полустакана. Для начала будем считать, что теплообмен у нас ровно тот же, что и в первом случае (скорость теплообмена не зависит от количества воды) - это и будет вариант 1. Поскольку воды теперь вдвое меньше, а скорость потери тепла та же самая, то и постоянная времени будет вдвое меньше (tau/2), то есть зависимость в этом случае будет T(t) = То*exp(-2t/tau). Стало быть, через 15 минут температура будет 50*exp(-30/tau).

Обратите внимание, что температура бывшего кипятка даже без его разбавления холодной водой уже через 15 минут такая же, как конечная температура в первом случае. То есть сразу долить холодной воды и оставить остывать - получится водпа более тёплая, чем оставить остывать полстакана кипятка и только потом разбавить холодной.

Случай 2, вариант 2, более приближённый к боевой обстановке: скорость теплопотерь зависит от количества воды. Ну давайте для определённости возьмём стакан цилиндрической формы. Согласитесь, что вариант вполне жизненный. В этом случае теплопотери через дно не зависят от количества воды в стакане, а вот теплопотери через стенки можно считать пропорциональными площади контакта воды со стенками (потери на испарение учитывать не будем, это сильно усложняет задачу, поскольку испарение сильно нелинейный процесс, с точки зрения зависимости от температуры). Тогда теплопотери через стенки просто пропорциональны количеству налитой воды. Но и теплоёмкость налитой воды тоже пропорциональная количеству воды! Поэтому скорость остывания только через стенки от полного количества воды не зависит. Так что тут две постоянных времени, причём одна зависит от того, сколько воды налито, вторая - не зависит (константа).

В такой ситуации, при наличии двух механизмов остывания, процесс описывается экспонентой, зависящей от двух постоянных времени, Tau1 = m*tau1 (tau1, таким образом - это "удельная" постоянная времени на единицу массы), tau2 = const, T(t) = To*exp(-t/mtau1-t/tau2). Через 15 минут у нас будет T(15) = 50*exp(-15/mtau1-15/tau2).

Когда долили ещё полстакана воды нулевой температуры (напомню - за ноль можно принять ЛЮБУЮ), то температура в начале стане равной T(15)/2 = 25*exp(-15/mtau1-15/tau2), масса возрастёт до 2m, ну а ещё через 15 минут снизится до 25*exp(-15/mtau1-15/tau2)*exp(-15/2m*tau1-15/tau2). После элементарных преобразований (произведение двух экспонент, да?) это приходит к такому виду: T(30) = 25*exp(-22.5/mtau1-30/tau2) *1*.

А теперь применим то же рассмотрение к первому стакану. Для него масса с самого начала равна 2m, поэтому и конечная температура будет такой: T(30) = 50*exp(-30/2m*tau1-30/tau2) = 50*exp(-15/m*tau1-30/tau2) *2*.

Сразу видно, что коэффициент перед экспонентой отличается вдвое. Так же видно, что один компонентов в показателе экспоненты не изменился (кто б сомневался... это теплопотери через дно, которым по фигу). А ещё один компонент - 22,5 вместо 15. Посмотрим, когда результат *1* будет больше результата *2*. Это совсем просто: exp(-22.5/mtau1) > 2exp(-15/mtau1), или exp(-22.5/mtau1+15/mtau1)>2. Не штука видеть, что это "никогда": показатель экспоненты - отрицательная величина, то есть она явно меньше 1.

Итак, окончательный вердикт по обоим рассмотренным вариантам: в первом стакане вода будет теплее, чем во втором.

Напоследок вопрос: чё тут сложного-то, а? Ещё раз - все эти выкладки не выходят за пределы средней школы.