Слова «халатный» и «халат» имеют что-то общее?

Да, я бы назвала эти два существительных "условно родственными". Они не полностью родственны, потому что "халатность" не имеет прямого отношения к гардеробу человека (даже если он и проявляет полную халатность); а "халат" (если он застёгнут) не выражает никакой халатности. 🙂

Тем не менее, именно халат (как элемент помещичьего или любого барского гардероба) стал предыдущим звеном в этимологической цепочке существительного "халатность".

Общим в этих словах то, что и Халату, и Халатности (неологизм по сравнению с Халатом) приписывается явная небрежность.

Связь Халатности с Халатом приписывают Гоголю, который юмористически преподнёс эти слова, как полностью родственные.

Часто бываю в поликлиниках и больницах. В моем городе настолько грязные одноразовые халаты, которые надевают все кому не лень, что даже эти халаты представляют угрозу как для одевающих, так и для больных. А без них не пускают. Самое интересное, что врачам и зав отделениям все равно. Лишь бы бахилы были. Но уборщицы и санитарки начинают возмущаться не по детски.

Насколько помню, халатность связана с барскими замашками и с выражением работать не закачивая рукава или спустя рукава. С халтурой одним словом.

Слово халатный по своему образованию это относительное прилагательное, производным от слова халат (например, халатный покрой, халатная ткань).

Халатность происходит от "хладный" , "холодный". Т. е. когда человек относится к чему-либо с прохладцей, без должного рвения и "жара". К "халату", как виду одежды это, мне кажется, имеет мало отношения.