Почему у слов — «друг» и «другой» один корень? Как они взаимосвязаны?

Слова ДРУГ и ДРУГОЙ, действительно, связаны этимологически.

И первое, и второе являются общеславянскими.

Существительному ДРУГ есть соответствующие слова и в балтийских, и в германских языках. И первоначальное значение этого слова -- спутник, товарищ по войне, позже просто товарищ.

Прилагательное ДРУГОЙ по происхождению связано с существительным ДРУГ и употреблялось вначале в оборотах типа "защищают друг друга", "улыбаются друг другу", "дорожат друг другом", "заботятся друг о друге", которые перешли в сочетания "один другого", "один другому", "один другим", "один о другом".