Может отпуск совместителя не совпадать с отпуском по основному месту?

Вы совершенно правы. Согласно ТК (ст.286) тем, кто работает по совместительству, ежегодный оплачиваемый отпуск предоставляется одновременно с их отпуском на основной работе.

Для чего это делается? Для того, чтобы работник действительно смог отдохнуть. То есть не только все работодатели, заключившие с работником трудовой договор, обязаны предоставить очередной отпуск такому работнику одновременно, но и работник обязан отдохнуть, как положено.

Что же можно сделать в вашем случае?

Согласно ст.123 ТК график отпусков обязателен и для работника, и для работодателя. Вероятно, график отпусков за прошлый год у Вас есть и этот работник стоял в графике. Чтобы не усугублять обстановку, надо было договориться с работником, чтобы он попросил по месту основной работы справку о том, что ему предоставлен на этот период отпуск по основной работе (думаю, что при хорошем взаимоотношении с основным работодателем ему в такой справке не отказали бы). В противном случае, вам надо было потребовать, чтобы работник написал заявление либо о переносе срока его отпуска в связи с тем, что работодатель по основному месту работы отпуск ему не дает, либо с просьбой по той же причине предоставить ему отпуск по графику.

Так как все сроки, как я понимаю, уже прошли, отправляйте его в отпуск за прошлый год по его заявлению, а за этот год - одновременно с отпуском по основному месту работы, пусть даже и авансом.

Есть еще один вариант - уволить вашего совместителя по собственному желанию, выплатить ему компенсацию за неиспользованный отпуск и принять на работу снова.