Может ли у вещества графена быть такое физическое свойство как плотность?

Графен всё ж не сахароза, потому что это сплошное вещество, а не насыпанные несвязанные чешуйки. Поэтому для него тоже можно рассматривать и объёмную плотность, наряду с поверхностной. Атомы всё ж имеют конечные размеры, поэтому даже у одноатомного слоя есть вполне конкретная толщина. А стало быть, появлется и вполне конкретный объём.

И вот если поверхностную плотность - вот те самые 0,77 мг/кв. м - разделить на толщину слоя (67 пм), то итоговая плотность оказывается практически равной плотности свинца: 11,5 г/куб. см.

разве у этого вещества нет объема и оно ничего не весит?

Ведь плотность это и есть вес единицы объема.