Кто может помочь с линейным оператором?

Первый и второй примеры - надо проверить коллинеарность векторов. Если вектора коллинеарны (определитель ма трицы, составленных их их координат, равен 0) - система линейно зависима, а базиса на них не построить. Если не ноль- соответственно, линейно независимы и существует базис. Разложение произвольного вектора по этому базису - скалярные произведение этого вектора на "единичные вектора" базиса (уж потрудитесь сообразить, что это такое).

Третье задание - надо найти матрицу, которая произвольный вектор (x, y, z) превращает в вектор (x, -y, z). Право, не штука, благо матрица будет диагональной. В другом базисе можно поступить аналогично, предварительно представив вектор (x, y, z) в этом новом базисе.

Ну а угол между векторами ищется черхз их скалярное произведение. Не забудьте, что скалярное произведение можно представить ДВУМЯ способами.