Какой болезнью занемог дядя, который самых честных правил?

Совершенно верно, болезнь дядюшкина не указана. Однако по косвенным признакам можно сделать предположения.

.. но Боже мой, какая скука, с больным сидеть и день и ночь, не отходя ни шагу прочь! Какое низкое коварство полуживого забавлять, ему подушку поправлять, печально подносить лекарство...

Таким образом дядюшка является пациентом лежачим и в достаточно тяжелом состоянии. Вместе с тем с ним с ним надо находится постоянно и обслуживать его - самостоятельно он не в состоянии даже взять лекарство. Судя по тому что "полуживого" надо "забавлять" пациент тем не менее находится в целом в сознании и он капризен, и лекарство ему подносят с печальным выражением лица.

Из этих косвенных признаков я осмелился бы предположить, что дядюшку хватил удар, то есть инсульт у него произошел..))