Каким образом можно прикрепить отвалившиеся ручки к кастрюле и к сотейнику?

Думаю, что это возможно только в одном случае. Если на кастрюле верхний край несколько шире самих стенок; ещё лучше, если он будет нависать над стенками. Я специально подобрала в интернете снимок двух таких кастрюль, они должны быть небольшими. На остальные принадлежности. что на снимке, не обращаем внимания. Далее посмотрите на нижний снимок: если у этого металлического сита убрать сеточку останется кольцо с ручкой. Вот по такому принципу можно сделать и ручку для кастрюли. Она будет вставляться в кольцо ручки, расширенные края кастрюли не позволят её выскочить из проволочного кольца. Только делать такую ручку нужно из толстой жёсткой проволоки. Ещё на саму рукоятку обязательно колечко одеть, как на решётках барбекю, чтобы кольцо с рукояткой не расширялись. Извините за такую наглядность, просто хотелось помочь!

Муж у меня как то решал такую проблему. Отлетела пластмассовая ручка от кастрюли из нержавейки. Ему пришлось дрелью сверлить два отверстия сбоку в самой кастрюле и потом еще и в ручке. Затем он закрепил ручку с помощью болтиков.

Лучше этого не делать. Выбросите старую кастрюлю и купите новую. Однажды эти вновь приделанные ручки могут отвалиться, например вместе с горячей пищей на вас. Поэтому не экономьте в данном случае на своем же здоровье.