Как решается cosx — (2^(1/2))*sin(x/2) >1?

Перепишем ваше неравенство следующим образом

y=cosx-sgrt2*sin(x/2)>1 (1)

Здесь sgrt2=2^(1/2) – квадратный корень из 2. Сокращение sgrt происходит от английских слов square root – квадратный корень. Так часто пишут в интернете. Удобно произвести такую замену

х=2А (2)

Тогда неравенство (1) запишется так cos(2A)-sgrt2*sinA>1. Вспомним хорошо известную в тригонометрии формулу для косинуса двойного угла cos(2A)=1-2sin^2(A), где sin^2(A) – синус А в квадрате. Тогда наше неравенство сводится к виду 1-2sin^2(A)-sgrt2*sinA>1.

Перепишем его так (единицы сокращаются)

2sin^2(A)+sgrt2*sinA<0 (3)

Удобно сделать еще одну замену

у= sgrt2*sinA (4)

Тогда у^2=2sin^2(A). Уравнение (3) приобретает вид у^2+у<0. Или у(у+1)<0. При каких у это выражение меньше нуля? 1) Если у<0 и y+1>0. То есть у<0 и у>-1. Эти 2 неравенства можно свети к такому виду -10 и y+1<0. То есть у>0 и у<-1. Нет такого у, чтобы оно было одновременно и больше нуля и меньше -1. Остается только первый случай

-1

Но у дается выражением (4). То есть -1

-45°

Из уравнения (2) имеем А=х/2. Тогда из (6) получим диапазон значений для величины х

-pi/2<х<0 (7)

Это третья и четвертая координатная четверть.

Проверка. Возьмем правый предел х=0. Тогда cos0=1, sin0=0. Из нашего уравнения (1) имеем у=1. И для уравнения (1) это есть предельное значение у. Но должно быть у>1. Так что, как видно и из (7), х=0 не входит в диапазон значений для переменной х. Возьмем левый предел для величины х, х=-pi/2. Тогда cosx=cos(-pi/2)=0, sin(x/2)=sin(-pi/4)=-(sgrt2)/2 и тогда имеем из неравенства (1) у=1. Это такое же предельное значение для у. Можно убедиться, что при х внутри диапазона (7) величина у больше 1.

Итак, ответ -pi/2<х<0.