Как проинтегрировать с помощью подстановки?

Универсальная тригонометрическая подстановка

t = tg(x/2), отсюда sin x = 2t/(1+t^2), cos t = (1-t^2)/(1+t^2), dx = 2dt/(1+t^2)

1) Int dx/(5cos x + 10sin x) = Int 2dt/(1+t^2):(5(1-t^2)/(1+t^2) + 20t/(1+t^2)) = Int 2dt/(1+t^2)*(1+t^2)/(-5t^2+20t+5) =

= -2/5*Int dt/(t^2-4t-1)

Дальше можно методом неопределенных коэффициентов. Для этого разложим знаменатель на множители.

t^2 - 4t - 1 = 0

D/4 = 2^2 - (-1) = 5

t1 = 2 - v5, t2 = 2 + v5

-2/5*Int dt/(t^2-4t-1) = -2/5*Int (A/(t-2+v5) + B/(t-2-v5)) dt = -2/5*Int (A(t-2-v5) + B(t-2+v5)) / ((t-2-v5)(t-2+v5)) dt =

= -2/5*Int (t(A+B) + (-2A-Av5-2B+Bv5))/(t^2-4t-1) dt = -2/5*Int 1/(t^2-4t-1) dt

Коэффициенты при одинаковых членах должны быть одинаковы

{ A + B = 0

{ -2A - Av5 - 2B + Bv5 = 1

Подставляем

{ B = -A

{ -2A -Av5 + 2A - Av5 = -2Av5 = 1

Получаем

{ A = - 1/(2v5) = -v5/10

{ B = -A = v5/10

Подставляем в интеграл

-2/5*Int (A/(t-2+v5) + B/(t-2-v5)) dt = -2/5*Int [-v5/(10(t-2+v5)) + v5/(10(t-2-v5))] dt = -2v5/50*Int(1/(t-2-v5) - 1/(t-2+v5)) dt =

= -2v5/50*(ln |t-2-v5| - ln |t-2+v5|) + C = -2v5/50*(ln |tg(x/2)-2-v5| - ln |tg(x/2)-2+v5|) + C

Второй делается точно также.