Как правильно писать, мерялись или мерились? Как и в каких случаях пишется?

Если люди соревновались, кто сильнее, кто выше или у кого длиннее руки, то они мерялись, от слова измерять или мерились от слова мера. Допустимо и то и другое.

А если люди были в ссоре между собой и решили установить хорошие отношения, то они мирились, от слова мир, но это к вопросу не относится напрямую.

Только мерИлись, по всем современным нормам. Вариант "мерЯлись" устаревший, и его можно встретить, например, в русской классике.

Что касается второго варианта, то правильно - измерялись, приставочный вариант.

И то, и другое - правильно.

Меряться - разговорное употребление.

Мериться - нейтральное литературное употребление.