Как пишется карыто или корыто?

Корыто - однозначно.

По одной из версий о происхождения этого слова считается, что оно образовалось от слова "кора", поскольку именно из коры, предположительно, и изготавливали в стародавние времена данный предмет хозяйственного обихода.

Повторюсь, что это лишь одна из версий - есть и другие, не менее интересные...

Впрочем, для запоминания правильного написания этого слова, думается, вполне достаточно запомнить связку: корыто - кора. Вряд ли кто-то в здравом уме вздумает написать - кара? вместо кора.