Как пишется бросьте или бросте?

Правильно пишется "бросьте" (с мягким знаком перед "-те"). Возникает логичный вопрос - "А почему?".

Можно было бы ответить - "Да потому что наклонение повелительное". Но это была бы детская отписка. "Лягте" - тоже повелительное, а вот мягкого знака мы не видим.

Дело в нашем случае обстоит несколько проще, чем можно думать. "Бросьте" - это слово, в котором мягкий знак проверяется не только правилом, но и подбором соответствующих однокоренных слов. Достаточно отбросить "-те", получив при этом единственное число всё того же повелительного наклонения, и получится "брось" - форма, в которой мягкий знак отчётливо слышится. Звуков-то он не обозначает, конечно, но зато отчётливо смягчает "с". Следовательно, добавление "-те" не должно бы уничтожить наш "Ь". И не уничтожает. Он остаётся на своём месте.