Если в улье пчёлы болеют, то может ли быть мёд больных пчёл…?

Зависит от конкретной болезни.

В принципе в небольшом количестве на многих крупных пасеках больные пчелы присутствуют. Такие общераспространенные болезни пчел как варроатоз, нозематоз- в небольших количествах присутствуют на многих пасеках, как насморк и герпес у людей. Пчеловоды сдерживают распространение болезней профилактическими методами.

Некоторые болезни передаются человеку или другим пчелам через продукты пчеловодства- на эти болезни в ветеринарной лаборатории проводят анализ меда.

А например, варроатоз не передается человеку (это клещь-паразит пчелы) и мед от семьи больной варроатозом вполне употребляем при условии что отобран перед тем как пчеловод пролечил пчел от него.