Даунинг-стрит в Лондоне и болезнь Дауна , какая тут связь ? В чем?

Никакой связи нет. Связь здесь могут разглядеть лишь люди, незнакомые с английским языком.

Болезнь Дауна так названа в честь ученного ее описавшего, его звали Джон Лэнгдон Хэйдон Даун (John Langdon Haydon Down). Фамилия действительно совпадает с английским словом "Вниз", но во многих других языках есть фамилии совпадающие с разными названиями: Вульф (Волк), Кац (Кот) и так далее.

Даунинг Стрит (Downing Street) — названа в честь Сера Джорджа Даунинга в 17 веке, который на этом месте построил большое по тем временам здание, сделавшее эту улицу тупиковой.

А вообще слово DOWN имеет массу значений, одно из которых - убивать, сбивать, повергать. Значит, предки этого Сера Даунинга в Средневековье отличились хорошей службой королю, обладали силой и мощью, повергающей врагов в бегство.