ЧЕШЕМ или ЧЕШИМ, ТЕШИМ или ТЕШЕМ — как правильно?

Мы чешем затылки когда не поймем, какую же гласную взять. Глагол Чесать, от которого образована эта форма настоящего времени не принадлежит к числу исключений и следовательно относится к первому спряжению. Его личные окончания не могут содержать гласную И. Проверим: Чешу-Чешешь-Чешет-Чешете-Чешем.

Аналогично рассуждаем и с глаголом Тешить, который относится уже ко второму спряжению и как раз может давать гласную И в личных окончаниях. Поэтому тут следует использовать форму Тешим: Мы тешим самолюбие, когда отвечаем правильно.

Не стоит забывать и глагол Тесать. Это глагол первого спряжения, который имеет очень похожую форму: Я тешу-Ты тешешь-Он тешет и так далее.

Глаголы "чесать" и "тешить" относятся к РАЗНЫМ СПРЯЖЕНИЯМ - соответственно к первому и ко второму (как и практически все глаголы с окончанием на -ить). Поэтому ничего удивительношо, что во множественном числе первого лица настоящего времени они пишутся по-разному: чешем и тешим.