Законно ли, если кадровик не заключает договор с новым рабочим?

согласно Трудовому кодексу Российской Федерации трудовой договор считается заключенным с момента допуска работника к работе.

Т.е. заключен он с вами уже месяц, а то, что вам его не дали в бумажном виде на подпись - недоработка вашего кадровика (совсем не обязательно злой умысел... конец года - начало года - цейтнот...).

Скорее всего договор есть - раз вы работаете уже месяц значит вам начислили хотя бы одну зарплату - без приказа о приеме этого сделать не возможно, а приказ делается на основании трудового договора.

Подойдите к кадровику.

Наличие-отсутствие бумажного варианта договора ничего не меняет для вас, а вот для организации может.