В каких сочетаниях синонимы «базар» и «рынок» отличаются друг от друга?

Чтобы установить отличия, нужно все-таки оттолкнуться от общего. Слова "рынок" и "базар" означают деятельность, связанную с торговлей, а также место этой деятельности. Из этого значения следует ряд отличий.

1. Как правило, это место, где скапливается большая, неорганизованная толпа шумящих, кричащих людей. Из этой особенности сформировалось переносное значение слова "базар" - "беспорядочный шум, крик, галдеж". Именно его имеют в виду, когда говорят: устроили тут базар!
2. Базар - еще и место, куда русский народ ходил на других посмотреть и себя показать (ярмарка), где встречаются, демонстрируют свои таланты, предлагают свое мастерство. Наверное, это значение слова "базар" звучит в названии фестиваля "Славянский базар".
3. Говоря о базаре как о месте торговли, С.И. Ожегов указывает, что это, как правило, открытое место.
4. Слово "базар" может означать благотворительное мероприятие, какую-либо распродажу, устроенную в благотворительных целях.
5. Рынок - это более цивилизованный базар. Само слово заимствовано позже, чем первое, в Петровскую эпоху, когда русский человек с топором (как представляется, еще и в медвежьей шкуре) очутился в Европе. Поэтому слово "рынок" стало означать не только торговлю, но и экономические отношения в широком смысле, часто строго регламентированные, связанные с политическими отношениями. Например: рынок ценных бумаг, рынок труда, рыночная экономика и т.д.