В каких случаях нужно писать / говорить «прочитать», в каких — «прочесть»?

ПРОЧИТАТЬ и ПРОЧЕСТЬ - абсолютно равнозначные глаголы.

Например, можно сказать и "мне нужно прочитать конспект", и "мне нужно прочесть конспект".

Все значения этих глаголов совпадают, кроме одного значения, относящегося только к глаголу ПРОЧИТАТЬ, а именно, когда имеется в виду, что за чтением было проведено какое-то количество времени, то есть при указании на определенное время, например: Я прочитал целую ночь, в результате опоздал на лекцию.

В этом случае нельзя глагол прочитал заменить глаголом прочел. Разница только в этом значении глаголов.

Следует заметить, что при всей равнозначности значений этих двух глаголов, в речи значительно чаще употребляется глагол ПРОЧИТАТЬ.