Существуют ли стихи, в которых нет ни одного глагола?

Написать такие стихотворения можно. В порядке эксперимента или по наитию поэты пишут стихотворения, и используя преимущественно единственную часть речи, и отказываясь от использования одной конкретной.

Пример стихотворения без глаголов - А. Фет:

Современные авторы. Игорь Аглицкий - почти только существительные:

И Олег Молотков - почти только существительные:

Два современных стихотворения отличаются друг от друга мало - одна модель для сборки - и оба близко не лежали рядом со стихотворением Фета - уж очень нарочитым воспринимается их объём при использовании только одной части речи. А вот включенные местами прилагательные сразу как таковые и не замечаются.

Собственно, писать такие тексты удобнее всего поручить компьютеру - у него лучше получается работа со списками слов. Сначала создаётся семантическая сеть - либо на основе анализа творчества конкретного поэта, либо сугубо индивидуальная. По этой сети компьютером генерируются стихотворения - сколько угодно много и за очень короткое время. Пример с семантической цепью по Блоку -"Звёздное море" (программа "Летящие слова"):

Заметно, что даже при таком раскладе качество компьютерного результата определяется качеством творчества человека, подарившего свои ассоциативные связи миру. И эаметно, что текст с добавлением прилагательных гораздо интересней. Компьютер, впрочем, напишет, как скажете. Возможно, Вам даже понравится то, что Вы прочитаете с монитора.

Полностью писать стихотворение за стихотворением только из существительных поэту скучно - это я так думаю. Да и в пределах одного стихотворения есть ли смысл себя ограничивать, когда качество стихотворения определяется совсем не этим? Цветаева в стихотворении к Блоку во второй строфе от списка перейдёт к движению - она может всё. И выбирает все части речи. Знатокам поэзии тоже скучно сидеть и делать выборку стихотворений только из существительных из всего корпуса поэтических текстов на конкретном языке. Разве что для диссертации потребуется, но то уже совсем другая история.