Слова «тонет» и «тонуть» имеют разные корни? Как объяснить?

Да, "тонет" и "тонуть" - однокоренные слова. Их общий корень -тон-. В слове "тонуть" есть еще суффикс -у- (как и в слове "уснуть"). Буквосочетание -ну- омонимично суффиксу -ну- в ругих словах (прыгнуть, лопнуть, блеснуть и др.). Но это только омонимия.

По логике вещей, в слове "тонуть" должно быть образоваться стечение взрывных согласных НН: тоннуть. Но русский язык этого не любит. Поэтому для образования глагола со значением однократности действия здесь использован суффикс -у-.