Подскажите как правильно по немецки написать Ich mogen (или moge)?

Очень даже предполагаю, что предложенные вами варианты будут ошибочны. Просмотрите спряжение модальных глаголов вот здесь.

Конечно, форма "ich moge..." не совсем неправильная, потому что это получится форма конъюнктив 1, но ее обычно проходят на поздних этапах обучения (и тогда вопросы, типа вашего обычно не задают).

В вашем же случае правильно будет:

Ich mag den Winter nicht, denn es (er) ist kalt.

Успехов в освоении немецкого!

Ich mogen должно быть правильным, moge даже не является глаголом