Почему говорят «августейший»? Откуда произошло выражение?

Август по латыни - "священный", "великий" - это титул римских императоров. Отсюда и "августейший". Так как Октавиан, после организованного им же убийства Цезаря, опасался покушения на себя любимого, то он стал носить нагрудные латы. Это было причиной, что его стали называть Августом.

А вообще-то Август - это особа держащая в руке всю полноту власти. Понятие Цезарь было рангом как бы пониже.

От имени второго по счету императора Римской империи - Октавиана Августа. Как и имя Цезаря, Август стал синонимом императорского титула. Поэтому членов императорской фамилии называли августейшими особами.