На автомобиле обязательно должны быть установлены брызговики?

Ради вашей же безопасности - да, обязательно. 500 рублей штрафа - это не деньги, а вот гнилые пороги и разваливающийся от ржавчины автомобиль... подумайте, хотите ли вы, чтоб после 1-2 лет интенсивной эксплуатации ваша кастрюля (ведь именно у кастрюли нет брызговиков) потребует от вас и пассажиров бежать, как это часто бывает в анекдотах, а не ехать - всего лишь вывалится дно.

Необязательно. Всё зависит от того, предусмотрены ли брызговики конструкцией Вашего железного коня. В Перечне неисправностей, при которых эксплуатировать его запрещено (к ПДД приложением идёт) об этом очень недвусмысленно написано.

Не было с завода - значит и ставить их или нет это только Ваш выбор, штрафовать не имеют права.

Да.

Меня один раз даже оштрафовали за их отсутствие.

КоАП РФАП часть 1 статья 12.5

А брызговик входит число обязательных элементов, которые должны быть установлены на автомобиле.

штраф на сегодня 500 руб

Сейчас дилеры зачастую продают машины, где брызговики не входят в стандартную комплектацию. Многие автовладельцы не ставят их с целью экономии или по каким-либо другим причинам. В ГАИ частенько заявляют, что без брызговиков на учет автомобиль ставить нельзя, но это незаконное требование, т.к. про обязательное наличие брызговиков ни в каких документах о постановке на учет не сказано.

Однако, на мой взгляд, лучше все-таки их поставить, т.к. из-под колес частенько вылетают камни и мусор, что вредит не только другим авто, но и Вашему в том числе.