Можно ли проложить рельсы без стыков, если можно, то как это сделать?

Нельзя. Металлы имеют свойство сильно расширяться, тем более - в длину. Расширение происходит от изменения атмосферной температуры. Температура и расширение также меняются от давления на рельсы со стороны движущегося состава.

Первые рельсы и колёса пытались сделать с зубчатой передачей, наподобие как у шестерёнок, но быстро отказались от этой идеи, в том числе и вследствие расширения рельсов.

Нет, это не возможно (но разве, что Вы сделаете одну цельную по всей длине). По законам физики металл имеет свойство под воздействием температуры расширятся, если Вы не оставите "зазор", то при жаркой погоде у Вас вместо рельс будет замечательная дуга или что-то на неё похожее.