Можно ли начинать предложение с но?

Запрещающих правил по вопросу, можно ли начинать предложения с союзов вообще,

в русском языке не существует. Это касается и союза но.

Во-первых, нужно обратить внимание на то, что союз но -- это союз противительный.

Обычно его употребляют при противопоставлении слов, предложений с сочинительной связью.

Например. Дождь еще не закончился, но уже выглянуло солнышко.

Часто союз но употребляется в диалоге при возражении собеседнику в ответ на что-то уже высказанное,

изложенное в предыдущем предложении.

В этом случае можно возражение свое начать с союза но.

Например.

-- Садись за стол, будем ужинать.

-- Но я не голоден.

Можно начать предложение с но и тогда, когда это предложение дополняет мысль, изложенную в предыдущем предложении. И такие случаи наиболее распространены и в разговорной речи, и в художественной литературе.

Например. Бабушка позволяла внукам то, что запрещала родная мать, которая прекрасно различала,

когда слезы - просто капризы, а когда - действительное несчастье. НО бабушка не выносила любых слез

и тут же шла на уступки.

Не совсем, по моему мнению, корректно начинать сразу свой разговор, свою речь с возражения.