Можно ли класть асфальт в лужи, грязь или просто на снег?

Это смотря с какой целью. Чтобы сделать нормальную дорогу - нельзя, поскольку асфальт, как тяжёлый остаток перегонки нефти, с водой "не дружит" и хорошо фиксируется только на сухих, обеспыленных поверхностях с промежуточным битумным слоем. Если же нужно срочно "освоить деньги" или создать видимость, то почему бы и нет. Несколько дней или даже недель он продержится, а потом сойдет вместе со снегом или будет смыт водой.

По технологии конечно асфальт в непогоду класть нельзя, потому что должны быть соблюдены нормы и требования к технологическому процессу. Но по факту, не только можно, а самое часто встречаемое действие - доказано автодором, каждый год перед Новым годом у них что-то типа традиции: снег, дождь, мороз, а они работают. Наверное уже секретную инновационную систему придумали наши умельцы.