Можно ли быть священником, без принадлежности к церковной организации?

Нельзя по большому счету. Священником становятся в результате рукоположения (одно из таинств церкви), для рукоположения нужен епископ, то есть, представитель церкви. Кроме того, священник должен сам совершать ряд таинств. Для таинства миропомазания ему понадобится миро, которое может освятить только епископ, если священник не будет членом какой-либо конфессии, ему просто это миро негде будет взять, тогда он не сможет крестить людей полноценным крещением (таинство миропомазания совершается сразу после крещения). Для совершения Евхаристии - главного таинства христианской церкви понадобится антиминс, который не только должен быть освящен епископом, но и подписан им. Церковь для этого и создана главным образом - для совершения Евхаристии. Вообще, строго говоря, священник не может быть священником и совершать таинства без разрешения архиерея (епископа). Этот сан появился вместе с церковью и он неотъемлемая часть церкви.

Конечно, Дух дышит где хочет, но скорее всего такой "священник", объявивший себя священником не понятно на основании чего, лишеный апостольской преемственности, реально не будет священником, а будет пребывать в иллюзии и вредить людям.