Может ли основа склоняемого существительного оканчиваться на гласный?

Вопрос, действительно, интересный.

У меня есть только один вариант, и то достаточно условный. Это слова, оканчивающиеся на -мя: время, бремя, стремя, имя, темя и т. д.

Дело в том, что буква Я (звук [а]) в этих словах этимологически входит в основу. Исконно это носовой гласный e (близкий к звукосочетанию [en]. В форме "время" он преобразовался в [а], зато в косвенных падежах сохранилось его почти исконное звучание: времЕНи, о времЕНах и т. д. Как видим, эта ЕН остается в основе. На этом основании и Я можно включить в основу.

Но более популярна другая версия: в современном русском языке -я входит в окончание, а -ен считается приращением к корню или суффиксом.

Думаю, что это слова ни -ИЕ. Здание: основа "здани-", окончание "-е"; аналогично следующие слова: чтение, сгорание, вычитание, мечтание и т. д. К этой же категории относятся слова на -ИЯ. Армия: основа "арми-", окончание "-я", ревизия, религия, пародия и т. д.