Может ли антивирус Dr. Web отягощать компьютер, мешая его работе?

Конечно может и делает это.

Так как это программа, которая работает постоянно в реальном режиме времени для проверки фрагментов файлов/информации и запускаемых программ для обнаружения совпадений с вирусными программами, а так же для предотвращения проникновения атакующих приложений из интернета.

Все это потребляет ресурсы компьютера.