«Лето» и «фиолетовый» — однокоренные слова?

Обоснований может быть аж три. Предлагаю их все постепенно:

• Фонетическое. Наличие звука [ф] в слове "фиолетовый" сводит на нет его шансы иметь хоть какое-то отношение к русскому языку. Этого звука не было ни одном славянском языке, он был заимствован вместе с чужеземными словами, а уже гораздо позже в него стал превращаться и звук [в] при ассимиляции по звонкости-глухости.
• Морфологическое. Слово "фиолетовый" пришло во многие европейские языки из романских, специалисты вычисляют в качестве источника итальянский, но такой старый, что больше похож на позднюю латынь.

Альтернативный вариант - старофранцузский язык, который в то время тоже не очень ушёл от латыни: лат. viola - стрфранц. (12 век) viole - violete (уменьшительная форма).

Таким образом, огрызки из итальянского (или старофранцузского) корня и суффикса не могут быть сопоставляемыми с целым корнем русского слова лето.

• Лексическое, то есть исходящее из значения слова.

у слов, лезущих в родственники, к тому же в однокоренные, должны быть хоть какие-нибудь общие семы. У слова "лето" два значения:

• время года между весной и осенью;
• год (в форме множественного числа).

Никаким боком около цветового или цветочного значений слова "фиолетовый" даже рядом не стоит. Цвет диковинный, а ареале обитания славян явно не встречался, иначе не пришлось бы заимствовать для него названию. Так что последний довод (раз цветочки - значит лето пришло) не выдерживает критики.