Какой частью речи является слово физкульт-привет?

При утренней пробежке в парке мы улыбаемся друг другу и обмениваемся физкульт-приветами.

Обмениваемся ЧЕМ? -- физкульт-приветами.

Это имя существительное, сложное. Второе слово привет изменяется по числам и падежам.

Происхождение этого существительного можно прочитать здесь.

Первая часть сложного существительного физкульт(урный) тоже понятна.

В целом же слово появилось вначале как приветствие и благодарность спортивных команд до игры и после игры.

Надо полагать, в нашу жизнь оно стало входить в советский период, когда большое внимание уделялось физическому развитию -- массовой физкультуре, созданию спортивных обществ, организации соревнований разного уровня.

Появилось среди спортсменов, постепенно стало употребляться и как просто приветствие между людьми в значении здравствуй, здорово, но уже шутливое приветствие. И в этом случае слово физкульт-привет принадлежит к междометиям.