Какое проверочное слово к слову «вежлив», «вежливо»?

Приведенные слова образованы от прилагательного (полного) ВЕЖЛИВЫЙ с корнем ВЕЖЛИВ-.

Безударная гласная И находится в корне слова, а не в суффиксе.

Обычно такие гласные проверяются изменением слова таким образом, чтобы она (безударная гласная) встала под ударение.

Слово вежливый никак невозможно изменить таким образом, поэтому оно считается словарным.

Его просто необходимо запомнить! Встретилось слово первый раз -- загляните в словарь, постарайтесь запомнить.

Но ... все-таки есть некоторые, если можно так выразиться, не общепринятые способы и варианты, используемые для лучшего запоминания непроверяемых слов. Один из них -- это слова-образы.

Что означает выражение "вежливый человек"? Другими словами, это синоним учтивый.

А в слове учтИвый гласная и находится под ударением.

Вот и возьмите это слово за образ, получится пара учтИвый - вежлИвый, в которой должна писаться одна и та же гласная и. Другая пара слов-образов, например, вежлИвый - вИд, где последнее слово тоже помогает запомнить, что в обоих словах должна писаться одна и та же гласная и. А ведь вежливый человек всегда имеет соответствующий вид, поэтому вполне логичная парочка получается.

Слово Вежлив оказывается кратким прилагательным в форме мужского рода: Вежлив-Вежлива-Вежливо-Вежливы.

Ударение в нем падает на первый слог: вЕжлив.

Корнем слова оказывается морфема ВЕЖЛИВ-: Вежливость.

Обратим внимание, что в этом корне гласная Е стоит под ударением, а безударной оказывается гласная И, и само слово можно ошибочно написать как вежлЕв.

Проверить эту гласную можно если обратиться к словоборазованию. Корень ВЕЖЛИВ происходит от корня ВЕЖ и суффикса ЛИВ, ведь было раньше слово Вежа, означавшее Знать. Ну а суффикса ЛЕВ не существует.

Аналогично проверим и слово Вежливо, которое кроме того, что может быть кратким прилагательным может быть и наречием, и тогда возникает вопрос в выборе суффикса. Но наречия от качественных прилагательных образуются только суффиксами О и Е, а следовательно суффикс А не для этого слова.

Слово "вежлив" является краткой формой прилагательного "вежливый". Хотя в современном языке в слове "вежливый" и его формах не выделяется суффикс лив-, когда-то в древнерусскую эпоху это слово было образовано именно с его помощью.

Чтобы правильно написать слова "вежлив", "вежливо", будем ориентироваться на их этимологический суффикс. Безударный гласный оказался в этимологическом суффиксе прилагательного -лив-. Известно, что суффикса -лев- просто не существует. Убедимся в этом:

дожд-лив-ый, смеш-лив-ый.

Поэтому в безударном положении напишем букву и словах "вежлив", "вежливо".