Какие реки протекает через наибольшее число адм. единиц в мире?

Тут важно "вовремя остановиться", потому что "административная единица" - понятие растяжимое. Это может быть страна - а может быть и мелкий муниципалитет. Если подсчитать, через сколько районов одной только Московской области протекает р. Москва, - мало не будет. Что уж говорить о Волге или даже Днепре...

Так что не будем рамениваться на мелочи.

Из европейских рек самой административно-насыщенной можно считать Дунай. Только государств на него нанизано десять - Германия, Австрия, Словакия, Венгрия, Хорватия, Сербия, Болгария, Румыния, Украина и Молдавия (нетрудно видеть, что это число связано с дроблением некоторых европейских стран в последние десятилетия). Если же считать не только страны, но и отдельные провинции этих стран, то получится ещё больше.

Весьма много чего нанизано на Миссисипи+Миссури (отмазка: что считать притоком, а что рекой - дело условное; природе названия неведомы, их дают люди. Поэтому "честный" подчёт - по максимальной длине русла, а не по тому, как чего потом назвали). От истока Миссури до устья Миссисипи русло проходит через 16 штатов, а если считать графства - то число перевалит за сотню...