Какие разрешения нужны для групповых занятий в многоквартирном доме?

Думаю, что никаких не нужно. Ну если я правильно понимаю, то речь идет о занятиях спорта. Просто нужно соблюдать определенные правила: чтобы уровень шума был допустимым для жилого дома, в данном случае басы музыки, чтобы соблюдалась чистота в общих помещениях, например, на лестничной площадке, коридорах прилегающих и придомовой территории.

Дальше - квалификация тренеров, но это уже на усмотрение клиентов. Если же это все оформлять как бизнес, то и тут я не нашла в законе никаких особенных требований конкретно к такому виду, ни лицензий, ни разрешений не нужно.

Просто соблюдать общие законы и платить налоги.