Какие части речи не имеют и не могут иметь корня?

Не имеют и не могут иметь корня служебные части речи. В корне заключено лексическое значение слова. А у служебных частей речи значения нет. У них есть только определённая функция в предложении.

Итак, не имеют корня:

• предлоги (образуют падежную форму: в, на, для и т. п.);
• союзы (служат для связи слов в предложении или для связи простых предложений в составе сложного: и, но, потому что и т. п.);
• частицы (вносят смысловые оттенки или образуют формы слов: лишь, не, бы и т. п.);
• междометия (служат для выражения эмоций: Эх!, Ну! и т. п.);
• звукоподражания (имитация звуков окружающего мира: ква - ква, ку - ку и т. п.);
• модальные слова (часть лингвистов относит модальные слова к служебным частям речи). Это слова, которые не являются членами предложения и выражают отношение высказывания к реальной действительности: вероятно, действительно, пожалуй и др. Модальные слова связаны с существительными, глаголами и т. п. только по происхождению. По составу их разобрать нельзя.